В треугольнике ABC биссектриса AD пересекает медиану BM в точке O, при этом BO:OM = 4:3. Чему равно отношение площадей

Рассмотрим треугольник ABC.

Так AD - биссектриса, то AO - биссектриса Рассмотрим треугольник ABM.

По свойству биссектрисы треугольника для ABM имеем:

AB / AM = BO / OM = 4 / 3.

Тогда AM = 3 / 4 * AB и

AC = 2 * AM = 3 / 2 * AB. Значит: AB / AC = 2 / 3.

По свойству биссектрисы треугольника для ABC имеем:

AB / AC = BD / DC = 2 / 3.

Теперь рассмотрим треугольник BMC.

Площадь треугольника DBO:

S1 = 0,5 * BO * BD * sin(OBD).

Площадь треугольника MCB:

S2 = 0,5 * BM * BC * sin(OBD).

Площадь треугольника ABC:

S = 2 * 0,5 * BM * BC * sin(OBD) = BM * BC * sin(OBD), т.к. BM - медиана.

Тогда:

S1 / S = 0,5 * BO * BD * sin(OBD) / BM * BC * sin(OBD) = 0,5 * BO * BD / BM * BC.

Но BМ / BO = (BO + OM) / BO = 1 + OM / BO = 1 + 3 / 4 = 7 / 4 и

BC / BD = (BD + DC) / BD = 1 + DC / BD = 1 + 3 / 2 = 5 / 2.

BO / BM = 4 / 7, BD / BC = 2 / 5.

S1 / S = 0,5 * BO * BD / BM * BC = 0.5 * 4 / 7 * 2 / 5 = 4 / 35.

https://bit.ly/2L3u8WA