Что больше: сумма кубов катетов или куб гипотенузы в прямоугольном треугольнике? и почему?

Докажем, что в прямоугольном треугольнике куб гипотенузы всегда больше чем сумма кубов катетов.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через a и b, а гипотенузу через с.

Докажем, что в таком случае всегда выполняется неравенство:

с³ > a³ + b³.

Поскольку обе части неравенства положительны, можем возвести их в квадрат:

с⁶ > (a³ + b³)². 

Согласно теореме Пифагора, с² = a² + b².

Подставляя данное значение с² в неравенство, получаем:

(a² + b²)³ > (a³ + b³)²;

а⁶ + 3а⁴b² + 3a²b⁴ + b⁶ > a⁶ + 2a³b³ + b⁶;

3а⁴b² + 3a²b⁴ > 2a³b³;

3а⁴b² + 3a²b⁴ - 2a³b³ > 0;

3a²b² * (a² + b² - (2/3)ab) > 0.

Сокращая на 3a²b², получаем:

a² + b² - (2/3)ab > 0;

a² + b² - 2ab + 2ab - (2/3)ab > 0;

a² - 2ab + b² + (4/3)ab > 0;

(а - b)² + (4/3)ab > 0.

Левая часть полученного неравенства переставляет собой сумму величины а - b в квадрате и положительной величины (4/3)ab.

Поскольку квадрат числа всегда больше или равен нулю, то полученное неравенство выполняется при любых положительных а и b.

Следовательно, в прямоугольном треугольнике куб гипотенузы всегда больше чем сумма кубов катетов.