Последовательность (an) задана формулой an=85/n+1.Сколько членов этой последовательности больше 8

Покажем, что данная последовательность является убывающей.

Для этого убедимся в справедливости неравенства а_n+1 <  a_n для любых целых положительных n.

Поскольку данная последовательность задана формулой an=85/(n + 1), данное неравенство имеет следующий вид:

85/(n + 1 + 1) < 85/(n + 1),

или 

85/(n + 2) < 85/(n + 1),

Поскольку, n + 2 > 0 и n +1  > 0, можем умножить обе части неравенства на выражение (n + 2) * (n + 1):

(n + 2) * (n + 1) * 85/(n + 2) < (n + 2) * (n + 1) * 85/(n + 1);

(n + 1) * 85 < (n + 2) * 85;

n * 85 + 1 * 85 < n * 85 + 2 * 85;

n * 85 + 85 < n * 85 + 170;

n * 85 + 85 - n * 85 < 170;

85 < 170.

Мы получили верное неравенство, следовательно, исходное неравенство выполняется при любом положительном n.

Следовательно, данная последовательность является убывающей.

Найдем последний член данной последовательности, больший чем 8.

Для этого решим в целых числах неравенство:

a_n > 8.

85/(n + 1) > 8;

85 > 8 * (n + 1);

85 > 8n + 8;

8n < 85 - 8;

8n < 77;

n < 77/8;

n < 9 5/8.

Наибольшее целое значение n, удовлетворяющее данном неравенству это n = 9.

Следовательно, есть 9 членов данной последовательности, больших, чем 8.

Ответ: есть 9 членов данной последовательности, больших, чем 8.