найдите критические точки функции f(x)=x^3-2x^2+x+3

Решение.

1. Найдем производную функции f(x).

f\'(x) = 3x^2 - 4x + 1.

2. Производная функции f(x) существует на всем числовом интервале.

3. Найдем стационарные точки функции f(x). Решим уравнение.

3x^2 - 4x + 1 = 0;

D = 16 - 12 = 4.

Уравнение имеет 2 корня х = 1/3 и х = 1.

4. Функция f(x) имеет 2 критические точки х = 1/3 и х = 1. 

5. Исследуем критические точки на максимум и минимум.

Найдем вторую производную функции f(x).

f\'\'(x) = 6x - 4.

f\'\'(1/3) = 6 * 1/3 - 4 = -2 < 0. x = 1/3 - точка максимума.

f\'\'(1) = 6 * 1 - 4 = 2 > 0.  х = 1 - точка минимума.

Ответ. Функция имеет 2 критические точки. х = 1/3 - точка максимума, х = 1 - точка минимума.