1. В треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника.

1) Вычислим площадь треугольника по формуле Герона:

S = √(p * (p – a)(p – b)(p – c)), где р – полупериметр треугольника, a, b и c – стороны.

p = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21 (см).

S = √(21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)) = √(21 * 8 * 7 * 6) = √(3 * 7 * 2 * 2 * 2 * 7 * 2 * 3) = 2 * 2 * 3 * 7 = 84 (см²).

Формула нахождения площади через радиус вписанной окружности: S = p * r, отсюда r = S/p = 84/21 = 4 (см).

Радиус вписанной окружности будет равен высоте каждого из трех полученных треугольников (радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне треугольника).

S1 = 1/2 * 4 * 13 = 26 (см²).

S2 = 1/2 * 4 * 14 = 28 (см²).

S3 = 1/2 * 4 * 15 = 30 (см²).

2) Вычислим острый угол ромба: 180° - 135° = 45° (ромб является параллелограммом, сумма соседних углов равна 180°).

Площадь параллелограмма равна S = a * b * sina (a и b стороны параллелограмма, a - угол между ними).

Отсюда S = 7√2 * 7√2 * sin45° = 49 * 2 * √2/2 = 49√2 (см²).

3) Пусть один угол равен х, тогда второй равен 2х. Так как ромб является параллелограммом, то сумма соседних углов равна 180°.

х + 2х = 180; 3х = 180; х = 60°.

Площадь параллелограмма равна S = a * b * sina (a и b стороны параллелограмма, a - угол между ними).

Отсюда S = 6 * 6 * sin60° = 36 * √3/2 = 18√3 (см²).

4) Площадь параллелограмма равна S = a * b * sina (a и b стороны параллелограмма, a - угол между ними). Максимальное значение, которое может принимать синус, равно 1.

Поэтому максимальная площадь параллелограмма равна S = 7 * 9 * 1 = 63 (см²).

Ответ: не может.

5) Площадь параллелограмма (через диагонали) равна S = 1/2 * d₁ * d₂ * sina (d₁ и d₂ – диагонали, a - острый угол между ними).

Прямоугольник является параллелограммом с равными диагоналями.

S = 1/2 * d² * sina = 36√3.

d² * sin60° = 72√3.

d² * √3/2 = 72√3.

d² = 144.

d = 12см.

Две стороны прямоугольника и диагональ образуют прямоугольный треугольник, один из углов которого равен 60°. Значит, одна сторона треугольника равна 12 * sin60° = 12 * √3/2 = 6√3 (cм). А вторая сторона равна 12 * cos60° = 12 * 1/2 = 6 (см).

6) Пусть сторона треугольника равна а.

Площадь шестиугольника AKDFNC равна сумме площадей треугольника АВС, квадрата ABDK, квадрата CDFN и треугольника BDF.

Площадь равностороннего треугольника АВС равна (√3/4 * а²) = a²√3/4 .

Площадь квадрата ABDK равна а².

Площадь квадрата CDFN равна а².

Найдем площадь треугольника BDF: угол FBD равен 360° - (90° + 90° + 60°) = 120°. Сторона BD = BF = а.

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: 1/2 * а * а * sin120° = 1/2 * a² * sin(180° - 60°) =  1/2 * a² * sin60° = 1/2 * a² * √3/2 = a²√3/4.

Суммируем все площади:

S = a²√3/4 + а² + а² + a²√3/4 = 2а² + a²√3/2.

7) Площадь вписанного в окружность четырехугольника можно вычислить по формуле S = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d), где р – это полупериметр четырехугольника, a, b, c и d – стороны.

p = (7 + 24 + 20 + 15)/2 = 66/2 = 33.

S = √(33 – 7)(33 – 24)(33 – 20)(33 – 15) = √(26 * 9 * 13 * 18) = √(2 * 13 * 9 * 13 * 2 * 9) = 2 * 13 * 9 = 234 см².