Докажите, что неравенство x-x^2-5<0 выполняется при всех значениях x

Найдем корни уравнения  - x^2 + x - 5 = 0:

x12 = (-1 +- √(1 - 4 * (-1) * (-5)) / 2 = (-1 +- √(-19) / 2.

Поскольку  √(-19) -  не существует, уравнение не имеет действительных корней. 

Вычислим значение выражения при произвольном x, например x = 1.

- 1^2 + 1 - 5 = -5 < 0.

Следовательно исходное неравенство выполняется при любом значении x.