Найти острый угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, если хорда делит окружность в отношении

Пусть АВ - данная хорда. Касательная проходит через точку А, О - центр окружности.

Найдем градусную меру каждой дуги. Пусть дуги равны 2х и 7х, тогда:

2х + 7х = 360°;

9х = 360;

х = 360/9 = 40°.

Тогда дуги равны 2х = 2 * 40° = 80° и 7х = 7 * 40° = 280°.

Рассмотрим треугольник АОВ: центральный угол АОВ равен значению дуги, он равен 80°. ОА = ОВ (это радиусы). Значит, треугольник АОВ равнобедренный, угол ВАО = углу АВО = (180° - 80°) : 2 = 50°.

Угол между касательной и радиусом равен 90°, значит угол между касательной и хордой равен 90° - 50° = 40°.

Ответ: угол между хордой и касательной равен 40°.