Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y=1/3x^2+1, осью Ox и прямыми x=1 и x=5

Изобразим графически:

http://bit.ly/2Bi41X7

Полученная фигура, для которой необходимо рассчитать площадь - криволинейная трапеция. То есть - плоская фигура, ограниченная осью Ох, прямыми х = 1, х = 5 и графиком непрерывным на отрезке (1, 5) функции y = 1/3 * x^2 + 1, которая не меняет знак на этом промежутке. Поэтому площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу: ∫₁⁵ (1/3 * x^2 + 1) dx.

Для решения определенного интеграла используя формулу Ньютона-Лейбница:

∫_a^b f (x) dx = F (X)│_a^b = F (b) - F (a).

Для решения определенного интеграла, нужно сначала найти первообразную F(X) для функции f(x), а затем найти разность значений b и a подставленные в первообразную F(x).

Вычислим площадь криволинейной трапеции:

∫₁⁵ (1/3 * x^2 + 1) dx = ∫₁⁵ (1/3 * 1/3 * x^3 + x) dx = (1/9 * x^3 + x)│₁⁵ = 1/9 * 5^3 + 5 - 1/9 * 1^3 + 1 = 1/9 * 125 + 5 - 1/9 * 1 + 1 = 170/9 – 10/9 = 160/9 ≈ 17,777 квадратных единиц.

Ответ: площадь криволинейной трапеции ≈ 17,777 квадратных единиц.