Решите неравенство 6x/x^2+5x≥x

6x/(x^2 + 5x) >= x. Перенесем х в левую часть и приведем к общему знаменателю:

6x/(x^2 + 5x) - x >=0;

(6х - х(x^2 + 5x))/(x^2 + 5x) >=0.

Раскроем скобки:

(6х - x^3 - 5x^2)/(x^2 + 5x) >=0;

(- x^3 - 5x^2 + 6х)/(x^2 + 5x) >=0;

вынесем в числителе (-х):

(-х(x^2 + 5x - 6))/(x^2 + 5x) >=0;

умножим на (-1):

(х(x^2 + 5x - 6))/(x^2 + 5x) <=0.

Разложим дробь на множители:

D = 25 + 24 = 49 (√D = 7); х1 = (-5 + 7)/2 = 1; х2 = (-5 - 7)/2 = -6.

x^2 + 5x = х(х + 5).

(х(х -1)(х + 6))/(x(х + 5)) <=0.

Дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, получается две системы неравенств:

(1) х(х -1)(х + 6) <= 0; x(х + 5) > 0.

(2) х(х -1)(х + 6) >= 0; x(х + 5) < 0.

Решаем каждую систему отдельно (методом интервалов):

1) х(х -1)(х + 6) <= 0; 

x(х + 5) > 0.

Корни первого неравенства равны 0, 1 и -6. Расставляем на прямой, подписываем знаки каждого интервала: (-) -6 (+) 0 (-) 1 (+). Нам нужен знак (-), так как <= 0. Решением неравенства будут промежутки (-∞; -6] U [0; 1].

Корни второго неравенства равны 0 и -5. Расставляем знаки: (+) -5 (-) 0 (+). Нам нужен знак (+), так как > 0. Решением неравенства будут промежутки (-∞; -5) U (0; +∞).

Решением системы будут промежутки (-∞; -5) и (0; 1].

2) х(х -1)(х + 6) >= 0;

x(х + 5) < 0.

Знаки первого неравенства: (-) -6 (+) 0 (-) 1 (+). Нам нужен знак (+), так как >= 0. Решением неравенства - промежутки [-6; 0] U [1; +∞).

Знаки второго неравенства: (+) -5 (-) 0 (+). Нам нужен знак (-), так как < 0. Решением неравенства будет промежуток (-5; 0).

Решением системы будет промежуток (-5; 0).

Ответ: (-∞; -5), (-5; 0) и (0; 1].