Даны координаты вектора AB(4,-5,7) и координаты точки A(2,1,-8) найти координаты точки B и проекцию AB на ось Oz

Исходя из определения вектора, найдем координаты точки В - к координатам вектора AB прибавим координаты точки А, получим:

В = АВ (4; -5; 7) + А (2; 1; -8) = (4; -5; 7) + (2; 1; -8) = (4 + 2; -5 + 1; 7 + (-8)) = (6; -4; -1).

Найдем проекцию вектора АВ на ось Oz, используя формулу:

Пр_A’B’AB = AB * A’B’ / |A’B’|.

Направляющий вектор для оси Oz равен вектору A’B’, где координаты точек A’(0; 0; -8) и B’(0; 0; -1). Так как проекция на ось Oz, то, соответственно, координаты х и y равны 0. Следовательно, вектор A’B’ имеет координаты: (0; 0; -1 - (-8)) = (0; 0; 7).

Найдем скалярное произведение векторов:

AB x A’B’ = AB_x * A’B’_x + AB_y * A’B’_y + AB_z * A’B’_z = 4 * 0 + (-5) * 0 + 7 * 7 = 0 - 0 + 49 = 49.

Координаты вектора A’B’ (0; 0; 7), тогда модуль вектора A’B’ равен:

|A’B’| = √(A’B’_x^2 +A’B_y’^2+ A’B’_z^2) = √(0^2 + 0^2 + 7^2) = √(0 + 0 + 49) = √49 = 7.

В итоге:

Пр_A’B’AB = AB * A’B’ / |A’B’| = 49 / 7 = 7.

Ответ: координаты точки В (6; -4; -1); проекция вектора AB на ось Oz равна 7.