Решите: x³+x²+x/(9x²-25)(x²+16) ≥0

Решим неравенство методом интервалов:

(x^3 + x^2 + x)/(9x^2 - 25)(x^2 + 16) ≥ 0.

Найдем корни неравенства:

1) x^3 + x^2 + x = 0; х(x^2 + x + 1) = 0.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

х = 0.

Или x^2 + x + 1 = 0. Квадратичная парабола, ветви вверх.

D = 1^2 - 4 * 1 = 1 - 4 = -3. Дискриминант отрицательный, значит парабола не касается оси х, она находится выше оси х (ветви вверх), корней нет.

2) 9x^2 - 25 = 0.

Разложим двучлен на множители по формуле разности квадратов:

(3х - 5)(3х + 5) = 0.

3х - 5 = 0; 3х = 5; х = 5/3; х = 1 2/3.

3х + 5 = 0; 3х = -5; х = -1 2/3.

x^2 + 16 = 0; x^2 = -16; х = √(-16) (не может быть) нет корней.

3) Отмечаем на числовой прямой точки -1 2/3, 0 и 1 2/3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) -1 2/3 (+) 0 (-) 1 2/3 (+).

Так как знак неравенства ≥ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решение неравенства: [-1 2/3; 0] и [1 2/3; +∞). Скобки квадратные, потому что неравенство нестрогое (≥), числа входят в промежуток.