В выпуклом четырехугольнике авсд аб=бс,сд=да. Точка к,л,м,н-середины сторон. Аб,бс,сд,да соответственно. Доказать что

Чертеж:

http://bit.ly/2BD9tJ7

Доказательство:

1) ∆ABD = ∆CBD по третьему признаку (AB = BC и AD = CD по условию, BD - общая сторона).

Следовательно:∠ABD = ∠CBD, т.е. ВО - биссектриса треугольника АВС. Но этот треугольник равнобедренный, значит биссектриса в нем является высотой, т.е. BD и AC перпендикулярны.

2) KL -  средняя линия ∆ABС, тогда по свойству средней линии KL || AC.

Аналогично: MN || AC, KN || BD и LM || BD.

Получим KL || MN и KN || LM, следовательно KLMN - параллелограмм.

3) Т.к. BD перпендикулярно АС (см. п.1), KL || AC и KN || BD (см. п.2), то KL перпендикулярно KN, значит параллелограмм KLMN является прямоугольником. А у прямоугольника диагонали равны, т.е. KM = LN, что и требовалось доказать.