При каких значениях m уравнение : 4x^3+4x^2+mx=0 имеет два корня?

В уравнении 4x^3 + 4x^2 + mx = 0 вынесем за скобку общий множитель х.

x(4x^2 + 4x + m) = 0 - произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю:

1) x = 0 - первый корень;

2) 4x^2 + 4x + m = 0 - это квадратное уравнение и нам надо, чтобы это уравнение имело только один корень; квадратное уравнение имеет один корень только тогда, когда его дискриминант равен нулю; 

D = b^2 - 4ac;

D = 4^2 - 4 * 4 * m = 16 - 16m;

16 - 16m = 0;

- 16m = - 16;

m = - 16 : (- 16);

m = 1 - при m = 1 уравнение 4x^2 + 4x + m = 0 будет иметь один корень, и у нас есть еще один, найденный в п.1. Значит при m = 1 уравнение 4x^3 + 4x^2 + mx = 0 будет иметь два корня.

Ответ. m = 1.