Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,если радиусы окружностей, вписанных в треугольники,

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2MUAyM8).

Так как высота СН прямоугольного треугольника проведена из вершины прямого угла, то образованные треугольники АСН и ВСН подобны между собой и подобны треугольнику АВС по первому признаку.

Тогда в подобных треугольниках радиусы вписанных окружностей пропорциональны, то:

АВ / R = АС / R₁ = BC / R₂.

АС / R₁ = BC / R₂, тогда:

АС / 5 = ВС / 4.

ВС = 4 * АС / 5.

Используем теорему Пифагора в треугольнике АВС.

АВ² = АС² + ВС² = АС² + (4 * АС / 5)² = АС² + 16 * АС² / 25 = 41 * АС² / 25.

АВ = (АС * √41) / 5.

АВ / R = АС / R1.

((АС * √41) / 5) / R = АС / R1 = AC / 5.

АС сократим, тогда:

(√41/5) / R = 1/5.

R = √41 см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен √41 см.