В загородном лагере отдыхало четыреста ребят. Как без опроса детей или их родителей, без просмотра их документов доказать,

Самое большое количество дней в году - 366 (Високосный год). Поэтому если взять хотя бы 367 людей, то хотя бы у двоих из них день рожденье придется на одно и то же число и на один и тот же месяц рождения. 

Предположим, что у 366 детей дни рождения каждый день в году, тогда у 367 го ребенка день рождение обязательно совпадет с кем-нибудь из них.

Предположим, что у 366 детей дни рождения приходятся не на каждый день года, тогда из этих 366 уже есть дети с совпадающим днем рождения.

Если взять 400 человек, то дни рождения совпадут у гораздо большего числа людей, чем у двоих.