Вычислить приближённо с помощью дифференциала √41

Формула вычисления приближенного значения: f(x₀ + Δx) = f(x₀) + f`(x₀) * Δx, где x₀ - это число, из которого можно вычислить квадратный корень, Δx - приращение (разница от заданного числа).

К числу √41 наиболее близко число √36, из него квадратный корень вычисляется.

Значит, принимаем за x₀ число 36.

Высчитаем приращение: Δx = 41 - 36 = 5.

f(x) = √х, значит f(x₀) = √36 = 6.

Найдем производную квадратного корня:

f(x) = √x = x^1/2;

f`(x) = 1/2 * (х)^{1/2 - 1} = 1/2 * х^-1/2 = 1/(2х^1/2) = 1/(2√x).

Значит, f`(x₀) = 1/(2√36) = 1/(2 * 6) = 1/12.

Подставляем все в формулу:

√41 = f(x₀) + f`(x₀) * Δx = 6 + 1/12 * 5 = 6 + 5/12 = 6 5/12.

Ответ: √41 ~ 6 5/12.