При каких значениях a неравенство ax^2+4x+9a<0 будет верным при всех значениях х ?

ax^2 + 4x + 9a < 0.

Рассмотрим функцию у = ax^2 + 4x + 9a, это квадратичная парабола. Чтобы неравенство было верным при всех значениях х, нужно, чтобы парабола располагалась под осью х (у принимает значения < 0) и не имела точек касания с осью х.

Это возможно при двух условиях: а должно быть меньше 0 (чтобы ветви параболы смотрели вниз) и чтобы трехчлен ax^2 + 4x + 9a = 0 не имел ни одного корня.

ax^2 + 4x + 9a = 0.

Выразим дискриминант:

D = 4^2 - 4 * a * 9a = 16 - 36а^2 = 4(4 - 9а^2) = 4(2 - 3а)(2 + 3а).

Дискриминант должен быть меньше нуля (тогда не будет корней).

4(2 - 3а)(2 + 3а) < 0.

Решим неравенство методом интервалов.

-4(3а - 2)(2 + 3а) < 0.

4(3а - 2)(2 + 3а) > 0.

Корни неравенства:

3а - 2 = 0; 3а = 2; а = 2/3.

2 + 3а = 0; 3а = -2; а = -2/3.

Отмечаем на числовой прямой точки -2/3 и 2/3 выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) -2/3 (-) 2/3 (+).

Так как знак неравенства > 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; -2/3) и (2/3; +∞).

Второй промежуток нам не подходит, так как а должно быть отрицательным.

Ответ: а принадлежит промежутку (-∞; -2/3).