Докажите что при любом целом значении x выражение x^3+41x делится на 6

Докажем, что при любом целом значении x выражение x^3 + 41 * x делится на 6. 

Z - множество целых чисел. 

Разделим на классы. 

Z = Z0 + Z1 + Z2;  

Z0 = (a = 3 * b, где a, b принадлежит Z); 

Z1 = (a = 3 * b + 1, где a, b принадлежит Z); 

Z2 = (a = 3 * b + 2, где a, b принадлежит Z);  

Здесь, использовали принцип решета Эратосфена. 

x^3 + 41 * x = x * (x^2 + 41);  

При четных числах выражение х * (x^2 + 41) делится на 2. При нечетных числах, выражение делится на 2, где если прибавить нечетные числа, все равно число будет четным. Значит, выражение делится на 2. Нам нужно доказать, что выражение делится на 6. 

Докажем, что х делится на число 3. 

Рассмотри случаи Z = Z0 + Z1 + Z2; 

1) x принадлежит Z0, тогда: x^3 + 41 * x ≡ 0; 

2) x принадлежит Z1, x = 3 * b + 1, тогда: 

x^2 + 41 = (3 * b)^2 + 2 * 3 * b * 41 + 1 + 41 = 3 * m + 42 = 3 * n, где m и n принадлежат Z. Значит, x^3  + 41 * x ≡ 0. 

3) x принадлежит Z2, x = 3 * b + 2, тогда: 

x^2 + 41 = (3 * b)^2 + 2 * 3 * b * 41 + 4 + 41 = 3 * m + 45 = 3 * n, где m и n принадлежат Z. Значит, x^3  + 41 * x ≡ 0.  

Отсюда получаем, что при любом целом значении х, выражение x^3 + 41 * x делится на 6.