Решите уравнения: a) |x^2 + 5x| = 6 b) |x^2 + 2x - 3| = |x^2+x-6| c) |2x + 1| = 1-x d) |x| - 3|x - 2| + 2|x-3| = 2

a) |x^2 + 5x| = 6. Если |x| = а, то х = а и х = -а.

x^2 + 5x = 6 и x^2 + 5x = -6.

1) x^2 + 5x = 6; x^2 + 5x - 6 = 0;

D = 25 + 24 = 49 (√D = 7);

х₁ = (-5 + 7)/2 = 1; х₂ = (-5 - 7)/2 = -6.

2) x^2 + 5x = -6;

x^2 + 5x + 6 = 0;

D = 25 - 24 = 1 (√D = 1);

х₁ = (-5 + 1)/2 = -2; х₂ = (-5 - 1)/2 = -3.

б) |x^2 + 2x - 3| = |x^2 + x - 6|. Если |х| = |а|, то х = а и х = -а.

1) x^2 + 2x - 3 = x^2 + x - 6;

 x^2 + 2x - 3 - x^2 - x + 6 = 0;

х + 3 = 0; х = -3.

2) x^2 + 2x - 3 = -(x^2 + x - 6);

x^2 + 2x - 3 + x^2 + x - 6 = 0;

2x^2 + 3x - 9 = 0;

D = 9 + 72 = 81 (√D = 9);

х₁ = (-3 + 9)/4 = 1,5; х₂ = (-3 - 9)/2 = -6.

в) |2x + 1| = 1 - x. Если |x| = а, то х = а и х = -а (ОДЗ: а > 0).

ОДЗ: 1 - х > 0; x < 1.

1) 2x + 1 = 1 - x;

2x + 1 - 1 + x = 0;

3х = 0; х = 0 (подходит, 0 < 1).

2) 2x + 1 = -(1 - x);

2x + 1 + 1 - x = 0;

х + 2 = 0; х = -2 (подходит, -2 < 1).

Ответ: -2 и 0.

г) |x| - 3|x - 2| + 2|x - 3| = 2.

Методом интервалов найдем корни: х = 0, х - 2 = 0 и х -3 = 0, отсюда х = 0, 2 и 3.

Знаки модулей на каждом промежутке: 

1 модуль: x < 0 (-), x > 0 (+).

II модуль: x < 2 (-), x > 2 (+).

III модуль: x < 3 (-), x > 3 (+).

4 неравенства:

1) x < 0, все модули с минусом:  -x + 3(x - 2) - 2(x - 3) = 2;

-х + 3х - 6 - 2х + 6 = 2;

0 = 2 (нет корней).

2) 0 < x < 2, 1 модуль с плюсом, остальные с минусом:

x + 3(x - 2) - 2(x - 3) = 2;

х + 3х - 6 - 2х + 6 = 2; 2х = 2; х = 1.

3) 2 < x < 3, первые два модуля с плюсом, третий с минусом:

x - 3(x - 2) - 2(x - 3) = 2; х - 3х + 6 - 2х + 6 = 2; -4х = -10; х = 2,5.

4) x > 3, все модули с плюсом:

x - 3(x - 2) + 2(x - 3) = 2;

х - 3х + 6 + 2х - 6 = 2; 0 = 2 (нет корней).