Докажите тождетсво tg2a*1-tg^2a/1+tg^2a=sin2a

Используя то, что tg(a) = sin(a)/cos(a), преобразуем выражение (1 - tg^2(a)) / (1 + tg^2(a)):

(1 - tg^2(a)) / (1 + tg^2(a)) = (1 - (sin(a)/cos(a))^2) / (1 + (sin(a)/cos(a))^2) = (1 - sin^2(a)/cos^2(a)) / (1 + sin^2(a)/cos^2(a)) = ((cos^2(a) - sin^2(a)) / cos^2(a)) / ((cos^2(a) + sin^2(a)) / cos^2(a)) = (cos^2(a) - sin^2(a)) / (cos^2(a)+ sin^2(a)).

Так как cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a) и cos^2(a)+ sin^2(a) = 1, получаем:

(cos^2(a) - sin^2(a)) / (cos^2(a)+ sin^2(a)) = cos(2a) / 1 = cos(2a).

Следовательно:

tg(2a) * (1 - tg^2(a)) / (1 + tg^2(a)) = tg(2a) * cos(2a) = (sin(2a)/cos(2a))  * cos(2a) = sin(2a).