Cos2x-1=корень из 2 sin(5П/2-х)

Решим уравнение:

cos 2x – 1 = √2 * sin (5п/2 – х).

Упростим выражение sin (5п/2 – х), используя формулы приведения:

sin (5п/2 – х) = sin (2п + п/2 – х) = sin (п/2 – х) = cos х.

Воспользуемся формулой двойного угла:

cos 2x = 2cos² x – 1.

Подставим полученные упрощения в исходное уравнение:

2cos² x – 1 – 1 = √2 cos х.

Перенесем все в левую часть:

2cos² x – 1 – 1 - √2 cos х = 0,

2cos² x - √2 cos х – 2 = 0.

Заменим переменные: cos х = у, получим:

2у² - √2у – 2 = 0.

Найдем дискриминант:

D = 2 + 4 * 2 * 2 = 18.

у₁ = (√2 + √18) / 4 = (√2 + 3√2) / 4 = √2,

у₂ = (√2 - √18) / 4 = (√2 - 3√2) / 4 = -√2/2.

Вернемся к исходным переменным:

cos х = √2,

cos х = -√2/2.

Решим первое уравнение:

cos х = √2.

Т.к. функция f (x) = cos x принимает значения [-1; 1], а √2 > 1, то уравнение корней не имеет.

Решим второе уравнение:

cos х = -√2/2,

х = 3п/4 + 2пk,

х = -3п/4 + 2пk.

Ответ: -3п/4 + 2пk; 3п/4 + 2пk.