1) даны точки A( 1; 2; 1 ) B( 2; -1; 3 ) C( 3; альфа; бета) . при каких значениях альфа и бета точка C лежит на прямой

 Условием того, что точки А, В и С лежат на одной прямой будет колинеарность векторов АВ и АС. А условием колинеарности векторов, в свою очередь, служит пропорциональность их координат.

Сначала найдем координаты векторов АС и АВ (от координат конца вектора отнять координаты начала):

АС (2, α - 2, β - 1);

АВ (1, -3, 2).

Теперь запишем пропорциональность:

2 / 1 = (α - 2) / -3 = (β - 1) / 2.

Решим две пропорции:

1) 2 / 1 = (α - 2) / -3;

α - 2 = 2 * (-3);

α - 2 = -6;

α = -4.

2) 2 / 1 = (β - 1) / 2;

β - 1 = 2 * 2;

β - 1 = 4;

β = 5.