||x^2-x|-1|-1\||4x+3|-2|-1>=0

(||x^2 - x| - 1| - 1)/(||4x + 3| - 2| - 1) ≥ 0.

Произведение тогда больше нуля, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Получается две системы: (1) ||x^2 - x| - 1| - 1 ≥ 0; ||4x + 3| - 2| - 1 > 0;

и (2) ||x^2 - x| - 1| - 1 ≤ 0; ||4x + 3| - 2| - 1 < 0.

1)  ||x^2 - x| - 1| - 1 ≥ 0 (а), ||4x + 3| - 2| - 1 > 0 (б);

а) ||x^2 - x| - 1| ≥ 1; отсюда |x^2 - x| - 1 ≥ 1 (а1) и |x^2 - x| - 1 ≤ -1 (а2).

а1) |x^2 - x| - 1 ≥ 1; |x^2 - x| ≥ 2, отсюда  x^2 - x ≥ 2 (а1.1) и x^2 - x ≤ -2 (а1.2).

а1.1) x^2 - x - 2 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - x - 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - x - 2 = 0; по теореме Виета корни уравнения равны 2 и -1. Решение неравенства (-∞; -1) и (2; +∞).

а1.2) x^2 - x ≤ -2; x^2 - x + 2 ≤ 0; D = -7, корней нет. Парабола находится над осью х, решения неравенства нет. Значит, решения системы (а1) нет.

а2) |x^2 - x| - 1 ≤ -1; |x^2 - x| ≤ 0; отсюда x^2 - x = 0, х(х - 1) = 0; х = 1 и х = 0.

Объединяем решения (а1) и (а2), решения системы (а) нет.

б) ||4x + 3| - 2| - 1  0; ||4x + 3| - 2| > 1, отсюда |4x + 3| - 2 > 1 (б1) и |4x + 3| - 2 < -1 (б2).

б1) |4x + 3| - 2 > 1; |4x + 3| > 3; отсюда 4x + 3 > 3; 4х > 0; x > 0. И 4x + 3 < -3; 4x < -6; x < -1,5. Решения нет.

б2) |4x + 3| - 2 < -1;  |4x + 3| < 1, отсюда 4x + 3 < 1; 4х < -2; x < -0,5. И 4x + 3 > -1; 4х > -4; х > -1. Решение: (-1; -0,5).

Объединяем решения (б1) и (б2) - решения нет.

2) ||x^2 - x| - 1| - 1 ≤ 0 (с); ||4x + 3| - 2| - 1 < 0 (д).

с) ||x^2 - x| - 1| - 1 ≤ 0; ||x^2 - x| - 1| ≤ 1, отсюда |x^2 - x| - 1 ≤ 1 (с1) и |x^2 - x| - 1 ≥ -1 (с2).

с1) |x^2 - x| - 1 ≤ 1; |x^2 - x| ≤ 2, отсюда x^2 - x ≤ 2 (с1.1) и x^2 - x ≥ -2 (с1.2).

с1.1) x^2 - x - 2 ≤ 0. Парабола, ветви вверх. x^2 - x - 2 = 0, по теореме Виета корни уравнения равны 2 и -1. Решение неравенства [-1; 2].

с1.2) x^2 - x ≥ -2; x^2 - x + 2 ≥ 0. Парабола, ветви вверх. x^2 - x + 2 = 0, D = -7, корней нет, парабола над осью х, решение неравенства: (-∞; +∞).

Решение системы (с1): [-1; 2].

с2) |x^2 - x| - 1 ≥ -1; |x^2 - x| ≥ 0; x - любое число.

Решение системы (с): [-1; 2].

 д) ||4x + 3| - 2| - 1 < 0; ||4x + 3| - 2| < 1; отсюда |4x + 3| - 2 < 1 (д1) и |4x + 3| - 2 > -1 (д2).

д1) |4x + 3| - 2 < 1; |4x + 3| < 3; отсюда 4x + 3 < 3; 4х < 0; x < 0. И 4x + 3 > -3; 4x > -6; x > -1,5. Решение: (-1,5; 0).

д2) |4x + 3| - 2 > -1; |4x + 3| > 1; отсюда 4x + 3 > 1; 4х > -2; x > -1,5. И 4x + 3 > -1; 4х < -4; x < -1. Решение: (-1,5; 1).

Объединяем решения (д1) и (д2): (-1,5; 1).

Объединяем решения (с) и (д): (-1,5; 1).

Ответ: х принадлежит промежутку (-1,5; 1).