Iх2+у2-4хl+х2+у2-4у=0 для всех точек(х;у),найдите наименьшее значение выражения х-у

   Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

   1. x^2 + y^2 - 4х < 0;

• {x^2 + y^2 - 4х < 0;{-(x^2 + y^2 - 4х) + x^2 + y^2 - 4у = 0;
• {x^2 + y^2 - 4х < 0;{4х - 4у = 0;
• {x^2 + y^2 - 4х < 0;{х - у = 0.

   Для этого случая имеем: x - y = 0.

   2. x^2 + y^2 - 4х ≥ 0;

• {x^2 + y^2 - 4х ≥ 0;{(x^2 + y^2 - 4х) + x^2 + y^2 - 4у = 0;
• {x^2 + y^2 - 4х ≥ 0;{x^2 + y^2 - 2х - 2у = 0;
• {2x + 2y - 4х ≥ 0;{x^2 + y^2 = 2х + 2у;
• {2y - 2х ≥ 0;{x^2 + y^2 = 2х + 2у;
• {y - х ≥ 0;{x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2;
• {x - y ≤ 0;{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2.

   Решением системы является половина окружности (http://bit.ly/2u4y4jy), находящаяся левее прямой y = x. Ищем наименьшее значение x - y = p, при котором система имеет решение:

• {x - y = p;{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2;
• {y = x - p;{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2.

   Очевидно, этого значения достигнем в том случае, когда прямая y = x - p будет касаться окружности в точке (0; 2):

• y = x + 2.
• p = -2.

   Ответ: -2.