Решите систему: а^2+б^2=104 аб=20

Решим заданную систему уравнений способом подстановки. Для этого выразим a из второго уравнения, подставим это значение в первое уравнение и решим его.

a = 20 / b,

(20 / b)² + b² = 104.

Решим уравнение (20 / b)² + b² = 104.

Определим область допустимых значений b: b ≠ 0, так как на 0 делить нельзя.

400/b² + b² = 104,

400 + b⁴ = 104b²,

b⁴ - 104b² + 400 = 0.

Сделаем замену переменной: b² = х.

х² - 104х + 400 = 0.

Вычислим дискриминант:

D = (-104)² - 4 * 1 * 400 = 10816 - 1600 = 9216, √D = √9216 = 96.

Найдем корни уравнения:

х₁ = (-(-104) + 96) / 2 * 1,

х₁ = (104 + 96) / 2,

х₁ = 200 / 2,

х₁ = 100;

х₂ = (-(-104) - 96) / 2 * 1,

х₂ = (104 - 96) / 2,

х₂ = 8 / 2,

х₂ = 4.

Теперь найдем значения b:

b² = 100 или b² = 4,

b₁ = 10, b₂ = -10, b₃ = 2, b₄ = -2.

Вычислим соответствующие им значения a:

• при b₁ = 10

a₁ = 20 / b₁ = 20 / 10 = 2;

• при b₂ = -10

a₂ = 20 / b₂ = 20 / (-10) = -2;

• при b₃ = 2

a₃ = 20 / b₃ = 20 / 2 = 10;

• при b₄ = -2

a₄ = 20 / b₄ = 20 / (-2) = -10.

Ответ: решениями этой системы уравнений являются пары чисел — (2; 10), (-2; -10), (10; 2), (-10; -2).