Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. y''–2y'=2 ; y(1)=-1; y'(1)=0

   1. Составим и решим характеристическое уравнение для дифференциального уравнениявторого порядка с постоянными коэффициентами:

• y\" – 2y\' = 2;
• y\" – 2y\' - 2 = 0;
• k^2 - 2k - 2 = 0;
• D/4 = 1 + 2 = 3;
• k = 1 ± √3;
• k1 = 1 - √3;
• k2 = 1 + √3.

   2. Общее решение дифференциального уравнения:

      y(x) = C1e^(k1x) + C2e^(k2x), C1 и С2 - константы.

   3. Вычислим производную:

      y\'(x) = C1k1e^(k1x) + C2k2e^(k2x);

   4. Решим систему уравнений:

      {y(1) = -1;      {y\'(1) = 0;

      {C1e^(k1) + C2e^(k2) = -1;      {C1k1e^(k1) + C2k2e^(k2) = 0;

      C2e^(k2) = -C1e^(k1) * (k1/k2);

      C1e^(k1) - C1e^(k1) * (k1/k2) = -1;

      C1e^(k1)(1 - k1/k2) = -1;

      C1e^(k1)(k2 - k1)/k2 = -1;

      C1e^(k1) = k2 / (k1 - k2); (1)

      C2k2e^(k2) = -k2 / (k1 - k2) * (k1/k2);

      C2k2e^(k2) = k1 / (k2 - k1); (2)

      C1e^(k1) = (1 + √3) / (-2√3) = (-3 - √3) / 6 = p1;

      C2e^(k2) = (1 - √3) / (2√3) = (-3 + √3) / 6 = p2;

      y = C1e^(k1x) + C2e^(k2x);

      y = (p1/e^(k1)) * e^(k1x) + (p2/e^(k2))e^(k2x);

      y = p1e^(k1(x - 1)) + p2e^(k2(x - 1)).

   Ответ: p1e^(k1(x - 1)) + p2e^(k2(x - 1)), где k1 = 1 - √3; k2 = 1 + √3; p1 = (-3 - √3) / 6; p2 = (-3 + √3) / 6.