Найти производную функции F(x)=1+x^2/1-x^2 И F"(x). С подробным решением

Найдём производную данной функции: y = (1 + x^2) / (1 - x^2).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (1 + x^2)’ = (1)’ + (x^2)’ = 0 + 2 * x^(2 - 1) = 2x;

2) (1 - x^2)’ = (1)’ – (x^2)’ = 0 – 2 * x^(2 – 1) = -2x.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = ((1 + x^2) / (1 - x^2))’ = ((1 + x^2)’ * (1 - x^2) - (1 + x^2) * (1 - x^2)’) / (1 - x^2)^2 = (2x * (1 - x^2) - (1 + x^2) *(-2x)) / (1 - x^2)^2 = (2x - 2x^3 + 2x + 2x^3) / (1 - x^2)^2 = 4x / (1 - x^2)^2.

y\'\' = (4x / (1 - x^2)^2)’ = (4x * (1 - x^2)^(-2))’ = (4x)’ * (1 - x^2)^(-2) + 4x * ((1 - x^2)^(-2))’ = (4x)’ * (1 - x^2)^(-2) + 4x * (1 - x^2)’ * ((1 - x^2)^(-2))’ = (4x)’ * (1 - x^2)^(-2) + 4x * ((1)’ – (x^2)’) * ((1 - x^2)^(-2))’ = (4 * 1 * x^(1 – 1)) * (1 - x^2)^(-2) + 4x * (0 – 2 * x^(2 - 1)) * (-2) * (1 - x^2)^(-2 - 1) = (4 * x^0) * (1 - x^2)^(-2) + 4x * (0 – 2 * x^1)) * (-2) * (1 - x^2)^(-3)) = (4 * 1) * (1 - x^2)^(-2) + 4x * (-2x) * (-2) * (1 - x^2)^(-3) = (4 / (1 - x^2)^2) + (8x^2) / (1 - x^2)^3).

Ответ: y\'\' = (4 / (1 - x^2)^2) + (8x^2) / (1 - x^2)^3).