Последовательность задана формулой an = дробь 15 / n + 2. Сколько членов этой последовательности больше 3?

Покажем, что данная последовательность является убывающей.

Для этого докажем, что для всех положительных n выполняется неравенство:

а_n+1 < a_n.

Согласно условию задачи, a_n = 15/n + 2, следовательно данное неравенство имеет вид:

15/(n + 1) + 2 <  15/n + 2.

Решаем полученное неравенство:

15/(n + 1) + 2 - 2 <  15/n;

15/(n + 1)  <  15/n;

1/(n + 1)  <  1/n;

Поскольку значения n являются положительными, можем умножить обе части неравенства на выражение n * (n + 1):

n * (n + 1) /(n + 1) < n * (n + 1) /n;

n < n + 1;

0 < 1.

Преобразовав исходное неравенство, мы получили верное неравенство, следовательно, исходное неравенство выполняется для всех целых n и последовательность  a_n является убывающей.

Найдем последний член этой последовательности, больший чем 3. Для этого решим неравенство:

a_n > 3;

15/n > 3;

n < 15 /3;

n < 5.

Следовательно, 4-й член является последним членом этой последовательности большим, чем 3 и всего существует 4 члена последовательности больших, чем 3.

Ответ: есть 4 члена последовательности больших, чем 3.