Дано три вершины параллелограмма АВСД: В(-1;7), С(7;3), Д(5;-1) 1)Найдите координаты точки К пересечения диагоналей и

1) В параллелограмме АВСД две диагонали, АС и ВД, они пересекаются в середине. Вычислим координаты середины отрезка ВД: В(-1; 7), Д(5; -1), К(х₁; у₁).

х₁ = (-1 + 5)/2 = 4/2 = 2.

у₁ = (7 + (-1))/2 = 6/2 = 3.

Точка К имеет координаты (2; 3). Так как точка К является также серединой отрезка АС, вычислим координаты точки А: С(7; 3), К(2; 3), А(х₂; у₂).

2 = (7 + х₂)/2; 7 + х₂ = 4; х₂ = 4 - 7; х₂ = -3.

3 = (3 + у₂)/2; 3 + у₂ = 6; у₂ = 6 - 3; 3 + у₂ = 3.

Координаты вершины А(-3; 3).

2) Сравним длину соседних сторон параллелограмма:

ВС² = (7 - (-1))² + ((3 - 7)² = 64 + 16 = 80; ВС = √80 = 4√5.

СД² = (7 - 5)² + (3 - (-1))² = 4 + 16 = 20; СД = √20 = 2√5.

Так как соседние стороны не равны, это не ромб и не квадрат.

Для того, чтобы определить, АВСД - прямоугольник или параллелограмм, найдем угол между двумя соседними сторонами по теореме косинусов.

ВД² = ВС² + СД² - 2 * ВС * СД * cosC.

ВД² = (-1 - 5)² + ((7 - (-1))² = 36 + 64 = 100.

100 = 80 + 20 - √80 * √20 * cosC.

√1600 * cosC = 100 - 100.

40 * cosC = 0;

cosC = 0.

угол С равен 90°.

Значит, АВСД - прямоугольник.

3) Уравнение окружности имеет вид (х – х₀)² + (y – y₀)² = R², где R – радиус окружности, х₀ и у₀ – координаты центра окружности.

Координаты цетра К(2; 3), радиус равен длине отрезка КД.

КД² = (5 - 2)² + (-1 - 3)² = 9 + 16 = 25.

Значит, уравнение окружности будет (х – 2)² + (y – 3)² = 25.

4) Уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Так как прямая пройдет через точки А(-3; 3) и К(2; 3), подставим значения х и у в уравнение и найдем k и b.

3 = -3k + b;

3 = 2k + b.

Выразим b из первого уравнения и подставим во второе.

b = 3 + 3k; 3 = 2k + 3 + 3k; 5k = 3 - 3; 5k = 0; k = 0.

b = 3 + 3 * 0 = 3.

Уравнение прямой имеет вид у = 0 * х + 3, то есть у = 3.