Cos(arccos x + arccos y) упростить

сos (arccos x + arccos y)

По формуле косинуса суммы: cos (a + b) = cos a * cos b – sin a * sin b

раскроем скобки:

сos (arccos x + arccos y) = сos (arccos x) * сos (arccos у) - sin (arccos x) * sin (arccos у).

Упростим выражение сos (arccos x) и sin (arccos x):

по определению arccos:

если arccos х = t, то cos t = х, т.е. сos (arccos x) = х.

sin t = √(1 – cos²t) = √(1 – x²), т.е. sin (arccos x) = √(1 – x²).

Упростим выражение сos (arccos у):

по определению arccos:

если arccos у = t, то cos t = у, т.е. сos (arccos у) = у.

sin t = √(1 – cos²t) = √(1 – у²), т.е. sin (arccos у) = √(1 – у²).

Подставим в исходное выражение:

сos (arccos x + arccos y) = х * у - √(1 – x²) * √(1 – у²) = ху - √((1 – x²) (1 – у²)) = ху - √((x² - 1) (у² - 1)).

Ответ: сos (arccos x + arccos y) = ху - √((x² - 1) (у² - 1)).