Х^4+(а-3)х^2+(а+10)^2=0. При каких а уравнение имеет четыре корня, образующие арифметическую прогрессию? Найти эти корни.

Обозначим Y = X^2, тогда имеем Y^2 + (a – 3)Y + (а+10)^2 = 0;

Найдем корни квадратного уравнения:

Y_1,2 = (- (a – 3) ± √ ((a-3)^2 – 4 * (a+10)^2)) / 2;

Упростим подкоренное выражение как разность квадратов

(a-3)^2 – 4 * (a+10)^2 = ((a – 3) – 2 * (a + 10)) * ((a – 3) + 2 * (a + 10)) = (a – 3 – 2a – 20) * (a – 3 + 2a + 20) = (-a – 23) * (3a + 17);

Подкоренное выражение  - (a +23) * (3a +17) ≥ 0, это возможно только при a ≤ 0;

Допустим, (a + 23) ≤ 0 и (3a +17) ≥ 0, это невозможно, потому что a ≤ -23 и a ≥ - 17/3 одновременно быть не может, значит, (a + 23) ≥ 0 и (3a +17) ≤ 0 и  - 23 ≤ a ≤ -17/3;

При a = -7 имеем корни уравнения Y= 9 и Y = 1;

Отсюда находим X₁ = -3; X₂ = 3; X₃ = -1; X₄ = 1, они образуют арифметическую прогрессию -3; -1; 1; 3 с шагом 2.