Найти значение производной функции у=5x^4+3arctgx при данном х=-1

Найдём производную функции: y = 5x^4 + 3arctg x.

Воспользовавшись формулами:

(arctg x)’ = 1 / (1 + х^2) (производная основной элементарной функции).

(xn)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с*u)’ = с*u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (5x^4)’ = 5 * 4 * х^(4-1) = 20 * х^3 = 20х^3;

2) (3arctgx)’ = 3 * 1 / (1 + х^2) = 3 / (1 + х^2).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (5x^4 + 3arctg x)’ = (5x^4)’ + (3arctg x)’ = 20х^3 + 3 / (1 + х^2).

Вычислим значение производной в точке х0 = - 1/

y\' (- 1) = 20 * (- 1)^3 + 3 / (1 + (- 1)^2) = 20 * (- 1) + 3 / (1 + 1) = - 20 + 3 / 2 = - 20 + 1,5 = - 18,5.

Ответ: y\' = 20х^3 + 3 / (1 + х^2), а y\' (- 1) = - 18,5.