X^4–6x^3+3x^2+6x+1=0;

х^4 – 6x^3 + 3x^2 + 6x + 1 = 0.

Это модифицированное возвратное уравнение, поделим уравнение на x^2:

х^2 – 6x + 3 + 6/х + 1/х^2 = 0;

х^2 + 3 + 1/х^2 – 6x + 6/х  = 0;

(х^2 - 2 + 1/х^2) + 5 – 6(x - 1/х) = 0.

Введем новую переменную, пусть а = x - 1/x, а^2 = x^2 - 2 + 1/x^2.

Получается уравнение а^2 + 5 - 6а = 0;

а^2 - 6а + 5 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 6; х₁ * х₂ = 5.

Корни равны 1 и 5.

То есть а = 1 и а = 5.

Вернемся к замене x - 1/x = а.

1) а = 1.

x - 1/x = 1; x - 1/x - 1 = 0; (х^2  - х - 1)/х = 0.

ОДЗ: х не равно 0.

х^2  - х - 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = -1; c = -1;

D = b^2 - 4ac; D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5 (√D = √5);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (1 + √5)/2.

х₂ = (1 - √5)/2.

2) а = 5.

x - 1/x = 5; x - 1/x - 5 = 0; (х^2 - 5х - 1)/х = 0.

ОДЗ: х не равно 0.

х^2 - 5х - 1 = 0.

D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-1) = 25 + 4 = 29 (√D = √29);

х₃ = (1 + √29)/2.

х₄ = (1 - √29)/2.

Ответ: корни уравнения х₁ = (1 + √5)/2; (1 - √5)/2; (1 + √29)/2 и (1 - √29)/2.