У=(х-5)(х+5)^4 найдите f'(-4)

Найдём производную данной функции: y = (х - 5)(х + 5)^4.

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (х - 5)’ = (х)’ – (5)’ = 1 * x^(1 – 1) – 0 = 1 * x^0 = 1 * 1 = 1;

2) ((х + 5)^4)’ = (х + 5)’ * ((х + 5)^4)’ = (1 * x^(1 – 1) + 0) * 4 * ((х + 5)^(4 – 1) = 1 * x^0 * 4 * (х + 5)^3 = 1 * 1 * 4 * (х + 5)^3 = 4(х + 5)^3.

Таким образом, производная  нашей функции будет следующая:

y\' = ((х - 5)(х + 5)^4)’ = (х - 5)’ * (х + 5)^4 + (х - 5) * ((х + 5)^4)’ =

1 * (х + 5)^4 + (х - 5) * 4 * (х + 5)^3 = ((х + 5)^3) * (x + 5 + 4x – 20) =

((х + 5)^3) * (5x – 15) = ((х + 5)^3) * 5 * (x – 3) = 5(x – 3)(х + 5)^3.

Вычислим значение производной в точке х0 = - 4:

y\' (- 4) = 5 * (- 4 – 3) * (- 4 + 5)^3 = 5 * (- 7) * (1)^3 = - 35.

Ответ: y\' = 5(x – 3)(х + 5)^3, а y\' (- 4) = - 35.