Найдите произведение наименьшего целого положительного и наибольшего целого отрицательного решений данного неравенства:

Определим значение х, где модуль меняет знак:

5x - 6 = 0; 5х = 6; х = 1/5 = 1,2.

1) Промежуток х > 1,2, раскрываем модуль со знаком (+).

x² - |5x - 6| > 0.

x² - (5x - 6) > 0;

x² - 5x + 6 > 0.

Рассмотрим функцию у = x² - 5x + 6, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x² - 5x + 6 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 5; х₁ * х₂ = 6.

Так как 2 + 3 = 5 и 2 * 3 = 6, то х₁ = 2 и х₂ = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 2 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; 2) и (3; +∞). Промежуток (-∞; 2) не удовлетворяет условию х > 1,2.

Решение неравенства: (3; +∞).

2) х < 1,2. Раскрываем модуль со знаком (-).

x² - |5x - 6| > 0.

x² - (-5x + 6) > 0;

x² + 5x - 6 > 0.

Рассмотрим функцию у = x² + 5x - 6, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x² + 5x - 6 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = -5; х₁ * х₂ = -6.

Так как -6 + 1 = -5 и -6 * 1 = -6, то х₁ = -6 и х₂ = 1.

Отмечаем на числовой прямой точки -6 и 1, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; -6) и (1; +∞). Промежуток (1; +∞) не удовлетворяет условию х < 1,2.

Решение неравенства: (-∞; -6).

3) Объединяем решения обоих неравенств: х принадлежит промежуткам (-∞; -6) и (3; +∞).

Наибольшее целое положительное решение равно 4.

Наименьшее целое отрицательное решение равно -7.

4 * (-7) = -28.