Решите дробные рациональные уравнения: 1) x+8/x-10=x-2/x+4 2)150/x=25-x 3)x^2-10/x-2=3x/2-x 4)5x^2-34x+24/x-8=5x-2 5)(2x-21)(5x+8)/10x^2+21x+8=0

1) (x + 8)/(x - 10) = (x - 2)/(x + 4).

По правилу пропорции: (x + 8)(x + 4) = (x - 10)(x - 2).

Раскрываем скобки: х^2 + 8х + 4х + 32 = х^2 - 10х - 2х + 20;

х^2 + 12х + 32 = х^2 - 12х + 20.

Переносим значения с х в левую часть, а числа - в правую:

х^2 + 12х - х^2 + 12х = 20 - 32;

24х = -12; х = -12/24 = -1/2.

2) 150/x = 25 - x.

По правилу пропорции: х(25 - x) = 150.

Раскрываем скобки: 25х - х^2 - 150 = 0; х^2 - 25х + 150 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = -25; c = 150;

D = b^2 - 4ac; D = (-25)^2 - 4 * 1 * 150 = 625 - 600 = 25 (√D = 5);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (25 + 5)/2 = 30/2 = 15.

х₂ = (25 - 5)/2 = 20/5 = 10.

3) (x^2 - 10)/(x - 2) = 3x/(2 - x); отсюда (x^2 - 10)/(x - 2) = -3x/(х - 2).

Умножаем уравнение на (х - 2) (ОДЗ: х не равно 2).

x^2 - 10 = -3x; x^2 + 3х - 10 = 0.

D = 9 + 40 = 49 (√D = 7);

х₁ = (-3 + 7)/2 = 2 (не подходит);

х₂ = (-3 - 7)/2 = -5.

4) (5x^2 - 34x + 24)/(x - 8) = 5x - 2.

По правилу пропорции:

5x^2 - 34x + 24 = (5x - 2)(x - 8).

Раскрываем скобки: 5x^2 - 34x + 24 = 5х^2 - 2х - 40х + 16; 

5x^2 - 34x + 24 = 5х^2 - 42х + 16.

Переносим значения с х в левую часть, а числа - в правую:

5x^2 - 34x - 5х^2 + 42х = 16 - 24;

8х = -8; х = -1.

5) (2x - 21)(5x + 8)/(10x^2 + 21x + 8) = 0.

(2x - 21)(5x + 8) = 0 (1) или 10x^2 + 21x + 8 не равно 0 (2).

1) (2x - 21)(5x + 8) = 0; 

2x - 21 = 0; 2х = 21; х = 21/2 = 10,5.

5x + 8 = 0; 5х = -8; х = -8/5 = -1,6 (не подходит).

2) 10x^2 + 21x + 8 = 0.

D = 441 - 320 = 121 (√D = 11);

х₁ = (-21 - 11)/20 = -32/20 = -1,6; х не равно -1,6;

х₂ = (-21 + 11)/20 = -10/20 = -0,5; х не равно -0,5.

6) 18/(x^2 - 9) + 5/(x + 3) = x/(x - 3).

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

18/(x - 3)(х + 3) + 5/(x + 3) - x/(x - 3) = 0;

(18 + 5(х - 3) - х(х + 3))/(x - 3)(х + 3) = 0;

раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые:

(18 + 5х - 15 - х^2 - 3x)/(x - 3)(х + 3) = 0;

(-х^2 + 2x + 3)/(x - 3)(х + 3) = 0.

Отсюда -х^2 + 2x + 3 = 0 (1)  или (x - 3)(х + 3) не равно 0 (2).

(1) -х^2 + 2x + 3 = 0; х^2 - 2x - 3 = 0;

D = 4 + 12 = 16 (√D = 4);

х₁ = (2 - 4)/2 = -1;

х₂ = (2 + 4)/2 = 3 (не подходит).

(2) (x - 3)(х + 3) = 0;

х - 3 = 0; х не равно 3;

х + 3 = 0; х не равно -3.

7) 2/(x^2 - 4) + 1/(2x - 4) + 7/(2x^2 + 4x) = 0.

Преобразуем знаменатели:

2/(x - 2)(х + 2) + 1/(2(x - 2)) + 7/(2x(х + 2)) = 0.

Приведем дроби к общему знаменателю:

(4х + х(х + 2) + 7(х - 2))/2х(x - 2)(х + 2) = 0;

Раскрываем скобки:

(4х + х^2 + 2х + 7х - 14)/2х(x - 2)(х + 2) = 0;

(х^2 + 13х - 14)/2х(x - 2)(х + 2) = 0.

Отсюда 2х(x - 2)(х + 2) не равно 0 (1) и х^2 + 13х - 14 = 0 (2).

2х(x - 2)(х + 2) = 0;

2х = 0; х = 0;

х - 2 = 0; х = 2;

х + 2 = 0; х = -2. х не равно 0, 2 и -2.

х^2 + 13х - 14 = 0.

D = 169 + 56 = 225 (√D = 15);

х₁ = (-13 - 15)/2 = (-28)/2 = -14;

х₂ = (-13 + 15)/2 = 1.