Решите дифференциальное уравнение 2(xy+y)y'+x(y^4+1)=0

Используя основные формулы дифференцирования и правила дифференцирования:

(х^n)’ = n * х^(n-1).

(с)’ = 0, где с – const.

(с * u)’ = с * u’, где с – const.

(u ± v)’ = u’ ± v’.

(uv)’ = u’v + uv’.

y = f(g(х)), y’ = f’u(u) * g’х(х), где u = g(х).

Таким образом, производная нашей данной функции будет выглядеть следующим образом:

f(х)\' = (х + 1)\' * (х - 2)^2 + (х + 1) * ((х - 2)^2)’ = ((х)’ + (1)\') * (х - 2)^2 + (х + 1) * (х - 2)’ * ((х - 2)^2)’ = ((х)’ + (1)\') * (х - 2)^2 + (х + 1) * ((х)’ – (2)’) * ((х - 2)^2)’ = (1 + 0) * (х - 2)^2 + (х + 1) * (1 – 0) * 2 * (х - 2) = 1 * (х - 2)^2 + (х + 1) * 1 * 2 * (х - 2) = (х - 2)^2 + (х + 1) * 2 * (х - 2) = (x – 2) * (x – 2 + 2x + 2) = (x – 2) * 3x = 3x^2 – 6x.

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f(х)\' = 3x^2 – 6x.