Найдите наименьшее значение f(x)=2tg² x+5tg x+9

   1. Обозначим:

      tgx = y;

      f(x) = 2tg^2(x) + 5tgx + 9;

      g(y) = 2y^2 + 5y + 9.

   2. Найдем стационарные точки функции:

      g\'(y) = 4y + 5;

      g\'(y) = 0;

      4y + 5 = 0;

      4y = -5;

      y = -5/4, точка минимума, т. к. функция от убывания переходит в возрастание.

   Важен тот факт, что существует значение x, при котором y = -5/4, поскольку область значений tgx - все множество действительных чисел.

   Наименьшее значение функции:  

      y(min) = y(-5/4) = 2 * (-5/4)^2 + 5 * (-5/4) + 9 = 2 * 25/16 - 25/4 + 9 = 25/8 - 25/4 + 9 = 72/8 - 25/8 = 47/8.

   Ответ: 47/8.