Решите неравенство х^2-3х+2<0

Алгоритм решения квадратичных неравенств:

• Убедиться, что левая часть представляет собой квадратичный трехчлен, а в правой части стоит ноль.
• Рассмотреть квадратичную функцию, определить направление веток параболы по коэффициенту перед х².
• Найти нули функции, то есть точки пересечения с осью х, для этого приравнять функцию к нулю и найти корни квадратного уравнения.
• Определить знаки каждого интервала.
• Подобрать нужный интервал по знаку неравенства.

х² - 3х + 2 < 0.

f(x) = х² - 3х + 2. Это квадратичная парабола, ветви вверх (так как перед х² положительный коэффициент - единица).

Вычислим нули функции (точки пересечения с осью х), для этого приравняем функцию к нулю.

f(x) = 0; х² - 3х + 2 = 0.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

a = 1; b = -3; c = 2;

D = b² - 4ac; D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 (√D = 1);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (3 - 1)/2 = 2/2 = 1.

х₂ = (3 + 1)/2 = 4/2 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки 1 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). 

https://bit.ly/2GXOV0Z

Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (1; 2). Неравенство строгое (< 0), поэтому числа 1 и 2 не входят в промежуток, скобки круглые.

Найдем корни уравнения:

х² - 3х + 2 = 0.

По теореме Виета можно записать:

х₁ + х₂ = 3,

х₁ * х₂ = 2.

Подбором находим, что х₁ = 2, х₂ = 1. Это точки пересечения графика функции у = х² - 3х + 2 с осью абсцисс.

Так как график функции у = х² - 3х + 2 — это парабола ветви, которой направлены вверх, то значение функции у < 0 при х є (1; 2).

Получаем, что заданное неравенство справедливо при х є (1; 2).