(x^(3)-3x^(2)+x-3)(4^(11-3x)-1/16)<=0 решить неравенство

(x^3 - 3x^2 + x - 3)(4^(11 - 3x) - 1/16) ≤ 0.

Произведение тогда меньше нуля, когда множители имеют разные знаки.

Получается две системы:

x^3 - 3x^2 + x - 3 ≤ 0; 4^(11 - 3x) - 1/16 ≥ 0 (1).

x^3 - 3x^2 + x - 3 ≥ 0; 4^(11 - 3x) - 1/16 ≤ 0 (2).

1) x^3 - 3x^2 + x - 3 ≤ 0 (а); 4^(11 - 3x) - 1/16 ≥ 0 (б).

Решаем каждое неравенство отдельно:

а) Разложим x^3 - 3x^2 + x - 3 на множители;

x^3 - 3x^2 + x - 3 = х^2(х - 3) + (х - 3) = (х^2 + 9)(х - 3).

Получается (х^2 + 1)(х - 3) ≤ 0.

Так как (х^2 + 1) всегда положительно, значит х - 3 ≤ 0; х ≤ 3.

Решение: (-∞; 3].

б) 4^(11 - 3x) - 1/16 ≥ 0.

4^(11 - 3x) ≥ 1/16;

4^(11 - 3x) ≥ 4^(-2);

11 - 3x ≥ -2;

-3x ≥ -2 - 11;

-3x ≥ -13;

х ≤ 13/3; х ≤ 4 1/3.

Решение: (-∞; 4 1/3].

Объединяем решения (а) и (б): решение системы неравенств (-∞; 3].

2) x^3 - 3x^2 + x - 3 ≥ 0 (а); 4^(11 - 3x) - 1/16 ≤ 0 (б).

а) (х^2 + 1)(х - 3) ≥ 0, значит х - 3 ≥ 0; х ≥ 3.

Решение: [3; +∞).

б) 4^(11 - 3x) - 1/16 ≤ 0;

4^(11 - 3x) ≤ 1/16;

4^(11 - 3x) ≤ 4^(-2);

11 - 3x ≤ -2;

-3x ≤ -2 - 11;

-3x ≤ -13;

х ≥ 13/3; х ≥ 4 1/3.

Решение: [4 1/3; +∞).

Объединяем решения (а) и (б): решение системы неравенств [4 1/3; +∞).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; 3] и [4 1/3; +∞).