4x + 4^x-1 = 5 4^x+1 + 19 * 2^x - 5 = 0

1) 4^x + 4^(x-1) = 5.

Преобразуем выражение:  4^x + 4^x * 4^(-1) = 5;  4^x + 4^x/4 = 5.

Пусть 4^x = а. Получается уравнение а + а/4 = 5.

Приводим левую часть в общему знаменателю:

(4а + а)/4 = 5;

5а/4 = 5.

Умножаем все уравнение на 4 и делим на 5.

5а = 20; а = 4.

Возвращаемся к замене 4^x = а: 4^x = 4; 4^x = 4^1; x = 1.

Ответ: х = 1.

2) 4^(x+1) + 19 * 2^x - 5 = 0. Преобразуем 4^(x+1) = 4^x * 4 = (2^2)^x * 4 = (2^x)^2 * 4.

Пусть 2^x = а. Получается уравнение: 4а^2 + 19а - 5 = 0.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант.

D = 361 + 80 = 441 (√D = 21);

а₁ = (-19 + 21)/8 = 2/8 = 1/4;

а₂ = (-19 - 21)/8 = (-40)/8 = -5.

Вернемся к замене 2^x = а:

2^x = 1/4; 2^x = 2^(-2); х = -2.

2^x = -5 (такого не может быть).

Ответ: х = -2.