Cos²x+cos²2x=cos²3x Решить уравнение

   Решите уравнение:

      cos²x + cos²(2x) = cos²(3x).

   Решение.

   1. Преобразуем уравнение, применив формулы для суммы и разности косинусов:

      сos²x + cos²(2x) = cos²(3x);

      сos²x - cos²(3x) + cos²(2x) = 0;

      (сosx + cos(3x)) * (сosx - cos(3x)) + cos²(2x) = 0;

      2 * cosx * cos(2x) * 2 * sinx * sin(2x) + cos²(2x) = 0;

      2 * sin²(2x) * cos(2x) + cos²(2x) = 0;

      cos(2x) * (2sin²(2x) + cos(2x)) = 0;

      cos(2x) * (2 - 2cos²(2x) + cos(2x)) = 0.

   1) cos(2x) = 0;

      2x = π/2 + πk;

      x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.

   2) 2 - 2cos²(2x) + cos(2x) = 0;

      2cos²(2x) - cos(2x) - 2 = 0;

      D = 1 + 16 = 17;

      cos(2x) = (1 ± √17) / 4.

   a) cos(2x) = (1 + √17) / 4 > 1, не имеет решений.

   b) cos(2x) = (1 - √17) / 4 = - (√17 - 1) / 4;

      2x = π ± arccos((√17 - 1) / 4) + 2πk;

      x = π/2 ± 1/2arccos((√17 - 1) / 4) + πk, k ∈ Z.

   Ответ: π/4 + πk/2; π/2 ± 1/2arccos((√17 - 1) / 4) + πk, k ∈ Z.