В кубе ABCDA1B1C1D1 через произвольную точку М отрезка АА1 проведена плоскость,параллельная пересечению отрезков ВВ1;СС1;DD1

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2KQq3b8).

Так как АВСДА1В1С1Д1 куб, то все его противоположные грани параллельны, а соседние перпендикулярны, тогда плоскость АА1В1В перпендикулярна ВВ1С1В. По условию MN перпендикулярна В1В, а следовательно MN параллельна А1В1 и АВ. Тогда АВMN прямоугольник и MN = АВ.

Аналогично доказываем, что NР = ВС, HQ = ДС, MQ = АД.

А так как АВ = АВ = СД = АД, то MN = NР = HQ = MQ, а значит, MNРQ квадрат.

NQ и МР диагонали квадрата, а значит пересекаются под углом 900,  что и требовалось доказать.