4*3^x-9*2^x=5*3^(x/2)*2^(x/2)

4 * 3^x - 9 * 2^x = 5 * 3^(x/2) * 2^(x/2).

Введем новые переменные. Пусть 3^(x/2) = а (а > 0), 2^(x/2) = в (в > 0).

Получается уравнение 4а^2 - 9в^2 = 5ав.

Перенесем все в левую часть: 4а^2 - 5ав - 9в^2 = 0.

Поделим уравнение на в^2:

4(а/в)^2 - 5(а/в) - 9 = 0.

Пусть (а/в) = t.

4t^2 - 5t - 9 = 0.

D = 25 - 4 * 4 * 9 = 25 + 144 = 169 (√D = 13);

t₁ = (5 - 13)/(2 * 4) = -8/8 = -1 (не может быть).

t₂ = (5 + 13)/8 = 18/8 = 9/4.

Вернемся к замене (а/в) = t:

(а/в) = 9/4.

Вернемся к замене 3^(x/2) = а, 2^(x/2) = в.

3^(x/2)/2^(x/2) = 9/4.

(3/2)^(x/2) = (3/2)^2.

Отсюда х/2 = 2; х = 4.

Ответ: корень уравнения равен 2.