Найдите вершины равнобедренного треугольника, если даны вершина прямого угла C (3;-1) и уравнение гипотенузы 3x+2y-6=0

   1. Найдем расстояние l между точкой C(3; -1) и произвольной точкой M(x; y), лежащей на заданной прямой:

• 3x + 2y - 6 = 0;
• 2y = 6 - 3x;
• y = 3 - 1,5x;

• l^2 = (x - 3)^2 + (y + 1)^2;
• l^2 = (x - 3)^2 + (3 - 1,5x + 1)^2;
• l^2 = (x - 3)^2 + (4 - 1,5x)^2;
• l^2 = x^2 - 6x + 9 + 16 - 12x + 2,25x^2;
• l^2 = 3,25x^2 - 18x + 25;
• l^2 = 13/4 * x^2 - 18x + 25;
• l^2 = 13/4(x^2 - 72/13 * x + 100/13);
• l^2 = 13/4((x - 36/13)^2 - 1296/13 + 100/13);
• l^2 = 13/4((x - 36/13)^2 - 1296/13^2 + 1300/13^2);
• l^2 = 13/4((x - 36/13)^2 + 4/13^2);
• l^2 = 13/4(x - 36/13)^2 + 1/13.

   2. Высота CH равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (http://bit.ly/2MLdSeb), проведенная к гипотенузе AB, равна половине гипотенузы AB и наименьшему значению l:

• CH = l(min) = 1/√13.

   3. А длина катетов AC и BC в √2 раз больше высоты CH:

• AC = BC = √2/√13,
• AC^2 = BC^2 = 2/13,

отсюда получим уравнение для координат вершин A и B:

• l^2 = 2/13;
• 13/4(x - 36/13)^2 + 1/13 = 2/13;
• 13/4(x - 36/13)^2 = 1/13;
• (x - 36/13)^2 = 4/13^2;
• (x - 36/13)^2 = (2/13)^2;
• x - 36/13 = ±2/13;
• x = 36/13 ± 2/13;
• x = (36 ± 2)/13;

   1) x = (36 - 2)/13 = 34/13;

      y = 3 - 1,5x = 3 - 3/2 * 34/13 = 39/13 - 51/13 = -12/13;

   2) x = (36 + 2)/13 = 38/13;

      y = 3 - 1,5x = 3 - 3/2 * 38/13 = 39/13 - 57/13 = -18/13.

   Ответ: A(34/13; -12/13), B(38/13; -18/13).