Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции x+cos2x

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)\' = (sin^2 (2φ))’ = (2φ)’ * (sin (2φ))’ * (sin^2 (2φ))’ = 2 * (cos (2φ) * 2sin (2φ) = 4(cos 2φ)(sin 2φ).

Вычислим значение производной в точке х0 = π / 6:

f(π / 6)\' = 4 * (cos 2 * (π / 6)) * (sin 2 * (π / 6)) = 4 * (cos (π / 3)) * (sin (π / 3)) = 4 * (1 / 2) * (√3 / 2) = √3.

Ответ: f(x)\' =4(cos 2φ)(sin 2φ), a f(π / 6)\' = √3.