Определите наибольшее значение выражения: 3cos2α + 4sin2α

Запишем исходное выражение в следующем виде:

3cos2α + 4sin2α= 5 * ((3/5) * cos2α + (4/5) * sin2α).

Так как (3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1, то обязательно найдется такой угол β, для которого sinβ = 3/5, а cosβ = 4/5.

Тогда получаем:

5 * ((3/5) * cos2α + (4/5) * sin2α) = 5 * (sinβ * cos2α + cosβ * sin2α).

Используя формулу синуса суммы sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β), получаем:

5 * (sinβ * cos2α + cosβ * sin2α) = 5 sin(2α + β).

Наибольшее значение функции у = sinx равно 1.

Следовательно, наибольшее значение выражения 5 sin(2α + β) равно 5.

Ответ: наибольшее значение данного выражения равно 5.