(x^2+24)/(x+1) Провести полное исследование функции

f(x) = (x^2 + 24)/(x + 1).

1) Найдем область определения и область значений.

х + 1 не равно 0, х не равно -1.

D(f) = R, х любое число, кроме (-1).

Так как x^2 + 24 никогда не будет равно 0, то у не равен 0.

E(f) = R, у любое число, кроме 0.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0; (x^2 + 24)/(x + 1) = 0.

ОДЗ: х не равно (-1).

x^2 + 24 = 0; x^2 = -24 (не может быть, нет корней).

График функции не пересекает ось х.

3) Определим четность функции.

f(x) = (x^2 + 24)/(x + 1).

f(- x) = ((-x)^2 + 24)/(-x + 1) = (x^2 + 24)/(1 - х).

f(x) не равно f(- x), f(x) не равно - f(- x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

Так как график не пересекает ось х, проверим знак функции подбором.

Подставим вместо х любое отрицательное число, пусть х = -2:

((-2)^2 + 24)/(-2 + 1) = -28.

Подставим вместо х любое положительное число, пусть х = 2:

(2^2 + 24)/(2 + 1) = 28/3.

Значит у отрицательный при отрицательных значениях х (кроме х = -1) и наоборот.

у > 0 на промежутках (0; +∞).

у < 0 на промежутке (-∞; -1) и (-1; 0).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = (x^2 + 24)/(x + 1).

f`(x) = ((x^2 + 24)\'(х + 1) - (x^2 + 24)(х + 1)\')/(x + 1)^2 = (2х(х + 1) - (x^2 + 24))/(x + 1)^2 = (2х^2 + 2х - x^2 - 24)/(x + 1)^2 = (х^2 + 2х - 24)/(x + 1)^2.

Приравняем производную к нулю.

f`(x) = 0;

(х^2 + 2х - 24)/(x + 1)^2 = 0.

ОДЗ: х не равно -1.

х^2 + 2х - 24 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = -2; х₁ * х₂ = -24. х₁ = -6 и х₂ = 4.

Определяем знаки производной на каждом промежутке.

(-∞; -6) производная (+), функция возрастает.

(-6; -1) производная (-), функция убывает.

(-1; 4) производная (-), функция убывает.

(4; +∞) производная (+), функция возрастает.

Значит, точки -6 и 4 - это точки экстремума.

Точка х = -6 это точка максимума, а точка х = 4 это точка минимума.

Найдем значение функции в точках экстремума.

х = -6; у = ((-6)^2 + 24)/(-6 + 1) = 60/(-5) = -12.

х = 4; у = (4^2 + 24)/(4 + 1) = 40/5 = 8.

Экстремумы функции равны -12 и 8.