Решите систему уравнений х^2+у^2=65 ху=28

Выразим из второго уравнения у: у = 28/х.

Подставим выраженное значение у в первое уравнение:

х^2 + (28/х)^2 = 65;

х^2 + 784/х^2 - 65 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(х^4 + 784 - 65х^2)/х^2= 0;

(х^4 - 65х^2 + 784)/х^2= 0.

х не равно нулю (делить на ноль нельзя), получилось биквадратное уравнение:

х^4 - 65х^2 + 784 = 0.

Произведем замену, пусть х^2 = а.

а^2 - 65а + 784 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = -65; c = 784;

D = b^2 - 4ac; D = (-65)^2 - 4 * 1 * 784 = 4225 - 3136 = 1089 (√D = 33);

x = (-b ± √D)/2a;

а₁ = (65 - 33)/2 = 32/2 = 16;

а₂ = (65 + 33)/2 = 98/2 = 49.

Так как х^2 = а, то х^2 = 16; х₁ = 4; х₂ = -4.

И х^2 = 49; х₃ = 7; х₄ = -7.

Из выраженного значения у = 28/х найдем все значения у:

у₁ = 28/4 = 7;

у₂ = 28/(-4) = -7;

у₃ = 28/7 = 4;

у₄ = 28/(-7) = -4.

Ответ: (4; 7), (-4; -7), (7; 4) и (-7; -4).