Определите наименьшее значение суммы |x|+|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|.

   1. Обозначим:

      x + 2 = y.

   Тогда:

• x = y - 2;
• x + 1 = y - 1;
• x + 3 = y + 1;
• x + 4 = y + 2;

• S = |x| + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|;
• S = |y - 2| + |y - 1| + |y| + |y + 1| + |y + 2|.

   2. Сумма выражений |y - 2| и |y + 2| равна сумме расстояний точки \'y\' от точек -2 и 2. Наименьшее значение этой суммы равно расстоянию между этими точками:

      2 - (-2) = 4,

и достигается при условии:

      -2 ≤ y ≤ 2.

   3. Аналогично, наименьшее значение |y - 1| + |y + 1| равно:

      1 - (-1) = 2,

и достигается при условии:

      -1 ≤ y ≤ 1.

   4. А |y| принимает наименьшее значение при y = 0:

      |0| = 0.

   5. Следовательно, наименьшее значение S достигается при y = 0:

      Smin = |0 - 2| + |0 - 1| + |0| + |0 + 1| + |0 + 2| = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6.

   Ответ: 6.